Producto escalar o producto punto

El producto escalar (también conocido como producto punto) es una operación entre dos vectores que da como resultado un número real (un escalar), no otro vector.

Es una de las herramientas más potentes en física y matemáticas porque nos dice, básicamente, qué tanto apuntan dos vectores en la misma dirección.

¿Cómo se calcular el producto escalar?

Necesitamos saber longitud de los vectores y el ángulo que forman entre sí

donde:

|u| y |v| son los módulos (longitudes) de los vectores

θ es el ángulo que forman entre ellos

Si tienes los vectores expresados en coordenadas. Solo debes multiplicar las componentes compañeras (las x con las x, las y con las y, etc.) y sumar los resultados.

En el plano (2D):

En el espacio (3D):

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus respectivas componentes.

Aplicaciones del producto escalar

Una de las aplicaciones más útiles de esta operación es averiguar si dos vectores son perpendiculares sin necesidad de graficarlos. Todo depende del signo del resultado:

–Si el producto escalar es 0: Los vectores son perpendiculares (ortogonales). Esto pasa porque el cos(90°) = 0.

–Si el producto escalar es positivo: El ángulo entre ellos es agudo (menor a $90°). Apuntan en direcciones similares.

–Si el producto escalar es negativo: El ángulo entre ellos es obtuso (mayor a $90°). Apuntan en direcciones opuestas.

Producto escalar ejercicios resueltos

Producto escalar ejercicio resuelto N°1

Obtenga el producto escalar entre los vectores A=(3,0) y B=(1,3) que forman un ángulo φ=71,2° entre ellos.

Producto escalar ejercicio resuelto N°2

•Obtenga el producto escalar entre los vectores A=(3,0) y B=(1,3) que forman un ángulo φ=71,2° entre ellos.

Producto escalar ejercicio resuelto N°3

Obtenga el producto escalar entre los vectores A y B que forman un ángulo φ=90° y tienen magnitud |A|=3 y |B|=3

El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero.

Producto escalar ejercicio resuelto N°4

Obtenga el producto escalar entre los vectores A=(3,3) y B=(-2,4) y el ángulo φ