Lección 10: Producto vectorial entre dos vectores
Producto vectorial entre dos vectores
El producto vectorial (también conocido como producto cruz) es una operación entre dos vectores en un espacio tridimensional. A diferencia del producto escalar, que da como resultado un número, el producto vectorial da como resultado un nuevo vector.
Definición del producto vectorial
•Definimos el producto vectorial AxB como una cantidad vectorial perpendicular al plano formado por los vectores A y B con una magnitud igual a ABsenɸ:
Si tienes dos vectores A y B, su producto vectorial se denota como AxB. El vector resultante tiene las siguientes propiedades:
–Dirección: Es absolutamente perpendicular (ortogonal) tanto a A como a B. Esto significa que es perpendicular al plano que forman ambos vectores.
–Sentido: Se determina mediante la regla de la mano derecha. Si giras los dedos de tu mano derecha desde el vector A hacia el vector B, tu pulgar apuntará en la dirección del vector resultante.
-Módulo (Magnitud): Representa el área del paralelogramo que forman los dos vectores y se calcula con la fórmula:
Donde θ es el ángulo entre los dos vectores
¿Cómo se calcula?
Si conocemos los componentes de los vectores en el espacio:
El producto vectorial se calcula resolviendo el determinante de una matriz de 3×3, donde la primera fila son los vectores unitarios ( î , ĵ, ǩ):
Al desarrollar este determinante, obtenemos la fórmula directa:
Propiedades del producto vectorial
No es conmutativo: Cambiar el orden cambia el signo del resultado.
Vectores paralelos: Si dos vectores son paralelos (ángulo de 0° o 180°), su producto vectorial es el vector nulo (0), ya que sin(0) = 0.
Propiedad distributiva:
Producto vectorial ejercicios resueltos
Producto vectorial ejercicio resuelto N°1
Obtener el producto vectorial AxB donde A=(3,4,1) y B=(2,1,4)
Producto vectorial ejercicio resuelto N°2
Obtener el producto vectorial AxB donde A=3î+4ĵ-1ĸ y B=2î-2ĵ+4ĸ
Producto vectorial ejercicio resuelto N°3
El vector A tiene una magnitud de 6 unidades y está sobre el eje +x. B tiene una magnitud de 4 unidades y está en el plano xy formando un ángulo de 30º con el eje +x. Calcule el producto cruz AxB.
La magnitud de C es:
Por la regla de la mano derecha, AxB tiene la dirección del eje +z;
Producto vectorial ejercicio resuelto N°4
•El vector A tiene una magnitud de 6 unidades y está sobre el eje +x. B tiene una magnitud de 4 unidades y está en el plano xy formando un ángulo de 30º con el eje +x. Calcule el producto cruz AxB.
•Para usar determinantes, primero escribimos las componentes de A y B:
