Lección 60: Cálculo del MOMENTO DE INERCIA CON INTEGRALES (teoría, explicación y ecuaciones)

El momento de inercia (I) mide la resistencia que opone un cuerpo a cambiar su estado de rotación. Mientras que para sistemas de partículas discretas se utiliza una sumatoria, para cuerpos rígidos con distribución continua de masa es necesario recurrir al cálculo integral.

Habíamos visto que para un cuerpo formado por masas puntuales:

El momento de inercia es:

Ahora para cuerpos rígidos que son una distribución continua de masa como por ejemplo:

Estos cuerpos no pueden representarse como varias masas puntuales entonces la sumatoria se transforma en una integral:

-Dividimos al cuerpo en elementos muy pequeños de masa dm de modo que todos los puntos de un elemento estén prácticamente a la misma distancia r perpendicular del eje de rotación

-el momento de inercia entonces es:

-para evaluar la integral tenemos que representar r y dm en términos de la misma variable

-hay que expresar dm en términos de un elemento de volumen dV y la densidad ρ del cuerpo

-El momento de inercia de un cuerpo depende de la forma en que su densidad varía dentro de su volumen

-Si la densidad del cuerpo es uniforme:

-hay que expresar dV en términos de diferenciables de la variable de integración como dV=dxdydz

-hay que elegir dV de modo tal que todos sus puntos estén casi a la misma distancia del eje de rotación

-los límites de integración están determinados por la forma y las dimensiones del cuerpo en estudio