Lección 45: velocidad y posición por integración: ¿que es velocidad y posicion por integracion? demostraciones

Hasta ahora conocíamos las fórmulas de movimiento rectilíneo con aceleración contante:

y habíamos aprendido a derivar las funciones de posición y velocidad para obtener las fórmulas de velocidad y aceleración en función del tiempo cuando la aceleración no era constante:

¿Qué sucede cuando la aceleración es variable en el tiempo?

es decir:

Ejemplos:

-la aceleración de un auto

-el lanzamiento de un cohete

-maniobras de aviones acrobáticos

-el movimiento de un sistema masa resorte

Si conocemos la variación de la aceleración de un cuerpo con respecto al tiempo entonces podemos integrar la aceleración para encontrar la funcion de velocidad vs tiempo e integrando esta ultima obtendremos la función de posición vs tiempo:

Demostración matemática:

Habíamos aprendido que la aceleración media es:

si reordenamos:

si lo aplicamos al rectángulo sombreado:

Esto quiere decir que del ∆v es igual al área de la tira sombreada con altura a_(med-x)  y anchura ∆t

Entonces el cambio total de velocidad en un intervalo cualesquiera entre t₁ y t₂ es la suma de los cambios  ∆v en los subintervalos pequeños ∆t, ya que

Es decir que el cambio de velocidad total entre t₁ y t₂ es el área total bajo la curva a_x=f(t)

En el límite, cuando los ∆t tienden a cero, la aceleración media en t+∆t se acerca a la aceleración instantánea y la sumatoria se transforma en una integral

El cambio de v es la integral de la aceleración respecto del tiempo

Si t_1=0s y llamamos t_2 a cualquier instante posterior t y si v_0x   es la velocidad en t_1=0s

donde v_x es la velocidad instantánea en el tiempo t.

Esta ecuación nos dice que si conocemos la fórmula de aceleración en función del tiempo a_x=f(t) podemos calcular la velocidad instantánea en cualquier instante ya  que al integrar la fórmula de aceleración obtendremos la fórmula de velocidad instantánea en función del tiempo v_x=f(t).

Demostración matemática:

Habíamos aprendido que la aceleración media es:

si reordenamos:

si lo aplicamos al rectángulo sombreado:

Esto quiere decir que el ∆x es igual al área de la tira sombreada con altura v_(med-x)  y anchura ∆t

Entonces el cambio total de posición (desplazamiento) en un intervalo cualesquiera entre t₁ y t₂ es la suma de los cambios  ∆x en los subintervalos pequeños ∆t, ya que:

Es decir que el desplazamiento total entre t₁ y t₂ es el área total bajo la curva v_x=f(t)

En el límite, cuando los ∆t tienden a cero, la velocidad media en t+∆t  se acerca a la velocidad instantánea y la sumatoria se transforma en una integral

Si t_1=0s y llamamos t_2 a cualquier instante posterior t y si x_0   es la posición en t_1=0s

donde x es el desplazamiento en el tiempo t.

Esta ecuación nos dice que si conocemos la fórmula de velocidad en función del tiempo v_x=f(t) podemos calcular la posición en cualquier instante ya que al integrar obtendremos la fórmula de posición en función del tiempo x=f(t).