Lección 54: TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS o TEOREMA DE STEINER (DEMOSTRACIÓN, teoría, explicación y ecuciones)
Teorema de Steiner
El teorema de Steiner, también conocido como teorema de los ejes paralelos, es un principio fundamental en física y mecánica que permite calcular el momento de inercia de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje que sea paralelo a un eje que pase por su centro de masa.
Introducción:
Un cuerpo tiene infinitos momentos de inercia porque puede girar por infinitos ejes:
Imagen: en la figura podemos observar cómo el mismo cuerpo tiene diferente momento de inercia al cambiar el eje de rotación
Teorema de Steiner o del teorema de los ejes paralelos
Cuando un cuerpo gira por un eje que no se encuentra en su centro de masa podemos calcular el momento de inercia del cuerpo en torno a ese eje como:
Imagen: en la imagen vemos un clindro con el eje de rotación que pasa por el centro de masa del cuerpo y con otro eje de rotación que pasa a una distancia d del centro de masa.
(teorema de los eje paralelos o teorema de Steiner)
donde:
M es la masa del cuerpo
d es la distancia en línea recta de la posición del centro de masa del cuerpo y el eje de rotación
I_cm es el momento de inercia del cuerpo en torno a un eje que pasa por su centro de masa
I_p momento de inercia del cuerpo en torno a un eje paralelo que esta a una distancia d del centro de masa
Demostración del teorema de Steiner o del teorema de los ejes paralelos
Tomamos una rebanada muy delgada del cuerpo paralela al plano xy y perpendicular al eje z
-consideramos dos ejes paralelos al eje z:
-uno pasa por el centro de masa y el otro por el punto P
-ponemos el origen del sistema de coordenadas en el centro de masa del cuerpo entonces las coordenadas del centro de masa son xcm=ycm=zcm=0
-el eje que pasa por el centro de masa atraviesa la rebanada delgada en el punto O
-el eje paralelo la atraviesa en el punto P con coordenadas (a,b)
-la distancia entre estos ejes es d, donde:
El momento de inercia de un elemento mi de la rebanada es:
Sea mi un elemento de masa de la rebanada con coordenadas (xi,yi,zi)
-El momento de inercia Icm de la rebanada alrededor del eje que pasa por el centro de masa es:
-El momento de inercia Icm de la rebanada alrededor del eje que pasa por P es:
-En estas expresiones no intervienen las coordenadas zi asique podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las rebanadas
-Expandiendo los cuadrados:
-reordenando:
(Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos)
Esta ecuación nos dice que:
-un cuerpo rígido tiene menor momento de inercia alrededor de un eje que pasa por su centro de masa que por cualquier otro eje paralelo
-es más natural que un cuerpo en rotación gire sobre un eje que pasa por su centro de masa